Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2x+m﹣1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B．

（1）求m的值；
（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；

（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線C′上求點P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2﹣2x+m﹣1與x軸只有一個交點，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）=0，

解得，m=2

（2）

解：由（1）知拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，易得頂點B（1，0），

當x=0時，y=1，得A（0，1）．

由1=x2﹣2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點坐標為：（2，1）．

過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD=1，BD=xD﹣xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= ．

同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= ．

∴∠ABC=180°﹣∠CBD﹣∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC是等腰直角三角形

（3）

解：由題知，拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

當x=0時，y=﹣3；

當y=0時，x=﹣1或x=3，

∴E（﹣1，0），F（0，﹣3），即OE=1，OF=3．

第一種情況：若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P1（x1，y1），作P1M⊥x軸于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，

則 ，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在拋物線C′上，

則有3（x12﹣2x1﹣3）=x1+1，

整理得，3x12﹣7x1﹣10=0，解得，

，或x2=﹣1（舍去）

把 代入①中可解得，

y1= ．

∴P1（ ， ）．

第二種情況：若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2（x2，y2），作P2N⊥y軸于N．

同第一種情況，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得 ，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在拋物線C′上，

則有x2=3（3+x22﹣2x2﹣3），

整理得3x22﹣7x2=0，解得x2=0（舍）或 ．

把 代入②中可解得，

．

∴P2（ ， ）．

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）根據拋物線與x軸只有一個交點可知△的值為0，由此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據A點在y軸上求出A點坐標，再求C點坐標，根據三個點的坐標得出△ABC為等腰直角三角形；（3）根據拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直角頂點和以F為直角頂點P的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．