Question

（11·臺州）(14分)已知拋物線y＝a(x－m)²＋n與y軸交于點A，它的頂點為
點B，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點都不在一直
線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．
(1)如圖1，求拋物線y＝(x－2)²＋1的伴隨直線的解析式．
(2)如圖2，若拋物線y＝a(x－m)²＋n(m＞0)的伴隨直線是y＝x－3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．
(3)如圖3，若拋物線y＝a(x－m)²＋n的伴隨直線是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴隨四邊形ABCD是矩形．
①用含b的代數式表示m、n的值；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBD是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(用含b的代數式表示)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由已知得B (2，1)，A (0，5)．                 ……………………1分
設所求直線的解析式為y＝kx＋b，     ……………………1分
，
∴所求直線的解析式為y＝－2x＋5   ……………………1分
（2）如圖，作BE⊥AC于點E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點A的坐標為
(0，－3)，點C的坐標為 (0，3)                   ……………………1分
可得AC＝6                                    ……………………1分
∵□ABCD的面積為12，

∵m＞0，即頂點B有y軸的右側，且在直線y＝x－3上，
∴頂點B的坐標為B (2，－1)                    ……………………1分
又拋物線經過點A (0，－3)

（3）①方法一：如圖，作BE⊥x軸于點E
由已知得：A的坐標為 (0，b)，C的坐標為 (0，－b)．
∵頂點B (m，n)在直線y＝－2x＋b上，
∴n＝－2m＋b，即點B的坐標為(m，－2m＋b)    ……………………1分
在矩形ABCD中，OC＝OB，
OC²＝OB²
即b²＝m²＋(－2m＋b) ²
∴5m²－4mb＝0
∴m (5m－4b)＝0

方法二：如圖，作BE⊥x軸于點E
類似方法一可得：A的坐標為 (0，b)，C的坐標為 (0，－b)．
∵頂點B (m，n)在直線y＝－2x＋b上，
∴n＝－2m＋b，即點B的坐標為(m，－2m＋b)    ……………………1分
∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m
CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m，
∵AB⊥BC于點B，
∴△ABC∽△AEB，
BE²＝AE·CE，即m²＝2m(2b－2m)，

（只寫“存在”的給1分）
解析:
略