Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點(不與B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=．下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD=6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8；④0<CE≤6.4．其中正確的結論是________．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

作AH⊥BC于H，如圖，根據等腰三角形的性質易得∠B=∠ADE=∠C，于是可判斷△ADE∽△ACD；在Rt△ABH中，利用三角函數的定義可計算出BH=8，則BC=2BH=16，所以當BD=6，則CD=10=AB，再證明∠EDC=∠BAD，則可判斷△ABD≌△DCE；先證明△ABD∽△DCE，分類討論：當∠DEC=90°，則∠ADB=90°，可得BD為8；當∠EDC=90°，則∠BAD=90°，根據三角函數定義可得BD=；設BD=x，則CD=16-x，由△ABD∽△DCE，利用相似比可得CE=-，然后根據二次函數的性質可得CE的最大值為6.4，于是有0＜CE≤6.4．

解：作AH⊥BC于H，如圖，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=α，BH=CH，

而∠ADE=∠B=α，

∴∠ADE=∠C，

而∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，所以①正確；

在Rt△ABH中，cosB=，

∴BH=10×=8，

∴BC=2BH=16，

當BD=6，則CD=10，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

而∠ADE=∠B=α，

∴∠EDC=∠BAD，

在△ABD與△DCE中

，

∴△ABD≌△DCE，所以②正確；

∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

△DCE為直角三角形，當∠DEC=90°，則∠ADB=90°，BD為8；

當∠EDC=90°，則∠BAD=90°，BD=，所以③錯誤；

設BD=x，則CD=16-x，

由△ABD∽△DCE得，即，

∴CE=-，

∴CE的最大值為6．4，

∴0＜CE≤6．4，所以④正確．

故答案為：①②④．