Question

（2012•遵義）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，-

3

）．
（1）求拋物線的函數解析式及點A的坐標；
（2）在拋物線上求點P，使S_△POA=2S_△AOB；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數經過原點，可得c=0，然后根據函數的對稱軸，及函數圖象經過點（3，-

3

）可得出函數解析式，根據二次函數的對稱性可直接得出點A的坐標．
（2）根據題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2

3

，代入函數解析式可得出點P的橫坐標；
（3）分情況討論，①點Q與點B重合可直接得出點Q的坐標；②點Q不與點B重合，先求出∠BOA的度數，然后可確定∠Q₁OA=的度數，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標，利用二次函數圖象函數的對稱性可得出Q₂的坐標．

解答：解：（1）由函數圖象經過原點得，函數解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數的頂點坐標為（3，-

3

），
∴

- b 2a =3 9a+3b=- 3

，
解得：

a= 3 9 b=- 2 3 3

，
故函數解析式為：y=

3

9

x²-

2 3

3

x，
由二次函數圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，

∴點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2

3

，
代入函數解析式得：2

3

=

3

9

x²-

2 3

3

x，
解得：x₁=3+3

3

，x₂=3-3

3

，
即滿足條件的點P有兩個，其坐標為：P₁（3+3

3

，2

3

），P₂（3-3

3

，2

3

）．

（3）存在．
①當點Q與點B重合時，滿足△AQO與△AOB相似，
此時點Q的坐標為（3，-

3

）；

②當點Q與點B不重合時，
過點B作BP⊥OA，則tan∠BOP=

BP

OP

=

3

3

，
故可得∠BOA=30°，
設Q₁坐標為（x，

3

9

x²-

2 3

3

x），過點Q₁作Q₁F⊥x軸，
∵△OAB∽△OQ₁A，
∴∠Q₁OA=30°，
故可得OF=

3

Q₁F，即x=

3

（

3

9

x²-

2 3

3

x），
解得：x=9或x=0（舍去），
經檢驗得此時OA=AQ₁，△OQ₁A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q₁坐標為（9，3

3

），
根據函數的對稱性可得Q₂坐標為（-3，3

3

）．
∴在拋物線上存在點Q，使△AQO與△AOB相似，其坐標為：（3，-

3

）或（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

點評：此題屬于二次函數的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細分析，分步解答．