Question

自選題：
如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接PC，過點P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在線段AD上是否存在不同于P的點Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（2）當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，求BE的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設存在符合條件的Q點，由于PE⊥PC，且四邊形ABCD是矩形，易證得△APE∽△DCP，可得AP•PD=AE•CD，同理可通過△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC，則AP•PD=AQ•QD，分別用PD、QD表示出AP、AQ，將所得等式進行適當變形即可求得AP、AQ的數量關系．
（2）由于BE的最大值為AB的長即2，因此只需求得BE的最小值即可；設AP=x，AE=y，在（1）題中已經證得AP•PD=AE•CD，用x、y表示出其中的線段，即可得到關于x、y的函數關系式，根據函數的性質即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范圍．

解答：解：（1）假設存在這樣的點Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴

AP

DC

=

AE

DP

，
∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ²=3AP-AP²，
∴AP²-AQ²=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3（2分）
∵AP≠AQ，
∴AP≠

3

2

，即P不能是AD的中點，
∴當P是AD的中點時，滿足條件的Q點不存在．
當P不是AD的中點時，總存在這樣的點Q滿足條件，此時AP+AQ=3．（1分）

（2）設AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3-x）=2y，
∴y=

1

2

x（3-x）=-

1

2

x²+

3

2

x=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

，
∴當x=

3

2

（在0＜x＜3范圍內）時，y_最大值=

9

8

；
而此時BE最小為

7

8

，
又∵E在AB上運動，且AB=2，
∴BE的取值范圍是

7

8

≤BE＜2．（2分）

點評：此題主要考查的是矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數最值的應用；（1）題中，通過兩步相似得到與所求相關的乘積式，并能正確地進行化簡變形是解決此題的關鍵．