Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點E是邊BC上一動點，把△DCE沿DE折疊得△DFE，射線DF交直線CB于點P，當△AFD為等腰三角形時，DP的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先根據AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，得出AD＜DF，再分兩種情況進行討論：①當FA＝FD時，過F作GH⊥AD與G，交BC于H，根據△DGF∽△PHF，得出，求得PF的長，進而得出DP的長；②當AF＝AD＝4時，過F作FH⊥BC于H，交DA的延長線于G，根據勾股定理求得FG，FH的長，再根據△DFG∽△PFH，得出，求出PF的長，即可得出PD的長．

∵AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，∴AD＜DF，故分兩種情況：

①如圖1所示，當FA＝FD時，過F作GH⊥AD于G，交BC于H，則HG⊥BC，DGAD＝2，∴Rt△DFG中，GF，∴FH＝6﹣4．

∵DG∥PH，

∴△DGF∽△PHF，

∴，即，

解得：PF6，

∴DP＝DF+PF＝6；

②如圖2所示，當AF＝AD＝4時，過F作FH⊥BC于H，交DA的延長線于G，則

Rt△AFG中，AG2+FG2＝AF2，即AG2+FG2＝16；

Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即（AG+4）2+FG2＝36；

聯立兩式，解得：FG，

∴FH＝6．

∵∠G＝∠FHP＝90°，∠DFG＝∠PFH，

∴△DFG∽△PFH，∴，即，

解得：PF6，∴DP＝DF+PF＝6．

故答案為：或．