Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A(－4，0)，B(0，3)，動點P從點O出發，沿x軸負方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點Q從點B出發，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動，過點P作PC⊥AB于點C，連接PQ，CQ，以PQ，CQ為鄰邊構造平行四邊形PQCD，設點P運動的時間為t秒．

(1)當點Q在線段OB上時，用含t的代數式表示PC，AC的長；

(2)在運動過程中．

①當點D落在x軸上時，求出滿足條件的t的值；

②若點D落在△ABO內部(不包括邊界)時，直接寫出t的取值范圍；

(3)作點Q關于x軸的對稱點Q′，連接CQ′，在運動過程中，是否存在某時刻使過A，P，C三點的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC＝(4－t)（2）①時，點D在x軸上，（3）或

【解析】（1）利用三角函數sin∠OAB==，cos∠OAB==，列出關系式即可解決問題.

（2）①當D在x軸上時，如圖2中，由QC∥OA，得=，由此即可解決問題. ②當點D在AB上時，如圖3中，由PQ∥AB，得=，求出時間t，求出①②兩種情形時 的△POQ的面積即可解決問題.

（3）如圖4中，當QC與⊙M相切時，則QC⊥CM，首先證明QBQ=QC，作QN∠BC于N，根據cos∠ABO==，列出方程即可解決問題，當CQ/是⊙M切線時，方法類似.

解：(1)如圖1中，

∵OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝5．

在Rt△ACP中，PA＝4－t，

∵sin∠OAB＝，∴PC＝(4－t)，

∵cos∠OAB＝，∴AC＝(4－t)．

(2)①當D在x軸上時，如圖2中，

∵QC∥OA，∴∴，

解得．∴時，點D在x軸上．

②．

(3)如圖3中，

∵Q(0，3－2t)，Q′(0，2t－3)，

當QC與⊙M相切時，則QC⊥CM，

∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，

∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，

∵∠CPM+∠PAC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，

∴BQ＝CQ，作QN⊥BC于N，

∵cos∠ABO＝，∴，

解得，

當CQ′是⊙M切線時，同理可得，解得．

∴或時，過A，P，C三點的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切．

“點睛”本題考查圓的綜合題、銳角三角函數、四邊形的性質、等腰三角形的性質、切線的性質等知識，解題的關鍵是求得點D在特殊位置時的時間，學會利用方程解決問題，屬于中考壓軸題.