Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN.

（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我們可得結論：AB+AD=AC；

在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則上面的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

【解】

（2）在圖3中：（只要填空，不需要證明）.

①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=      AC；

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=        AC（用含α的三角函數表示）。

 

Answer 1

【答案】

（1）成立，證明如下；（2），.

【解析】

試題分析：（1）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根據角平分線的性質，得CE=CF，根據等角的補角相等，得∠CDE=∠ABC，再根據AAS得到△CDE≌△CBF，則DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，從而根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立．

試題解析：（1）仍成立．

證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F

∵AC平分∠MAN

∴CE=CF

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC

又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）

∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF

∴AE+AF=AC

∴AD+AB=AC

（2），.

考點: (1)角平分線的性質；（2）全等三角形的判定與性質；（3）含30度角的直角三角形．