Question

【題目】如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．

求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；

（2）根據全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ABF，設AB、CE相交于點D，根據∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根據三角形內角和定理推出∠BMD=90°，從而得證．

證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如圖，根據（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，

所以EC⊥BF．