Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）分析拋物線過兩點，由待定系數求出拋物線解析式；
（2）根據D、E中點坐標在直線BC上，求出D點關于直線BC對稱點的坐標；
（3）有兩種方法：法一作輔助線PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根據幾何關系，先求出tan∠PBF，再設出P點坐標，根據幾何關系解出P點坐標；法二過點D作BD的垂線交直線PB于點Q，過點D作DH⊥x軸于H．過Q點作QG⊥DH于G，由角的關系，得到△QDG≌△DBH，再求出直線BP的解析式，解出方程組從而解出P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，
∴

a-b-4a=0 -4a=4

，
解得

a=-1 b=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；

（2）∵點D（m，m+1）在拋物線上，
∴m+1=-m²+3m+4，
即m²-2m-3=0
∴m=-1或m=3
∵點D在第一象限
∴點D的坐標為（3，4）
由（1）知OC=OB
∴∠CBA=45°
設點D關于直線BC的對稱點為點E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E點在y軸上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即點D關于直線BC對稱的點的坐標為（0，1）；

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=

3

2

2

∵OB=OC=4
∴BC=4

2

∴BE=BC-CE=

5

2

2

∴tan∠PBF=tan∠CBD=

DE

BE

=

3

5

設PF=3t，則BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P點在拋物線上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=-

2

5

∴P（-

2

5

，

66

25

）；
方法二：過點D作BD的垂線交直線PB于點Q，過點D作DH⊥x軸于H，過Q點作QG⊥DH于G，
∵∠PBD=45°
∴QD=DB
∴∠QDG+∠BDH=90°
又∵∠DQG+∠QDG=90°
∴∠DQG=∠BDH
∴△QDG≌△DBH
∴QG=DH=4，DG=BH=1
由（2）知D（3，4）
∴Q（-1，3）
∵B（4，0）
∴直線BQ的解析式為y=-

3

5

x+

12

5

解方程組

y=-x2+3x+4 y=- 3 5 x+ 12 5

得

x1=4 y1=0

x2=- 2 5 y2= 66 25

∴點P的坐標為（-

2

5

，

66

25

）．

點評：此題考查傳統的待定系數求函數解析式，第二問考查點的對稱問題，作合適的輔助線，根據垂直和三角形全等來求P點坐標．