Question

如圖所示，已知直線l的解析式為y=-

3

4

x+6，并且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）一個(gè)半徑為1的動(dòng)圓⊙P （起始時(shí)圓心P在原點(diǎn)O處），以4個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與直線l相切．
（3）若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BA方向以5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間直線PQ經(jīng)過(guò)△AOB的重心M？

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)直線l的解析式與x軸、y軸分別相交，即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）本題需先求出動(dòng)圓⊙P與直線l相切時(shí)移動(dòng)的距離再除以⊙P運(yùn)動(dòng)的速度即可得出結(jié)果．
（3）本題需先設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，然后得出點(diǎn)P與Q的橫坐標(biāo)相同，再求出△AOB的重心的坐標(biāo)即可求出4t的值，從而解出t的值．

解答：解：（1）A（8，0）（0，6）

（2）當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到P₁時(shí)，與直線L相切
設(shè)切點(diǎn)為D
則P₁D=1
∵△ADP₁∽△AOB
∴

AD

AO

=

DP1

OB

∴

AD

8

=

1

6

∴AD=

4

3

∴P1A=

5

3

∴OP₁=8-

5

3

=

19

3

∵動(dòng)圓⊙P以4個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，
∴經(jīng)過(guò)

19

3

÷4=

19

12

秒與直線l相切．
當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到P₂時(shí)，則P₂A=

5

3

∴OP₂=8+

5

3

=

29

3

∴經(jīng)過(guò)

29

3

÷4=

29

12

秒與直線l相切．

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
BQ=5t，OP=4t
則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4t
∴點(diǎn)P與Q的橫坐標(biāo)相同
∴PQ∥y軸
∵△AOB的重心的坐標(biāo)為（

24

9

，2)
∴PQ過(guò)△AOB的重心時(shí)
則4t=

24

9

t=

2

3

∴經(jīng)過(guò)

2

3

秒直線PQ經(jīng)過(guò)△AOB的重心M．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意把一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與相似三角形相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．