Question

【題目】（問(wèn)題背景）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)D為直線上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié).

（問(wèn)題初探）如果點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過(guò)點(diǎn)E作交直線于F，如圖2所示，通過(guò)證明______，可推證是_____三角形，從而求得______°.

（繼續(xù)探究）如果點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，求出的度數(shù).

（拓展延伸）連接，當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的最小值.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）△ADB，等腰直角，135°；（2）45°；（3）.

【解析】

（1）問(wèn)題初探：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ADE=90°，AD=DE，則∠ADB+∠EDF=∠ADB+∠DAB=90°，得到∠DAB=∠EDF，則根據(jù)AAS得到△DEF≌△ADB；則EF=BD，DF=AB，則AB=AC=DF，得到BD=CF=EF，則△CEF是等腰直角三角形；從而得到∠DCE=135°；

（2）繼續(xù)探究：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，與（1）同理，可證△ABD≌△DGE，得到BD=GE，AB=DG=BC，則BD=CG=GE，即可得到；

（3）拓展延伸：當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，BE的長(zhǎng)度是最小值，由（2）可知，則△BCE為等腰直角三角形，則.

解：（1）問(wèn)題初探：如圖，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：∠ADE=90°，AD=DE，

∴∠ADB+∠EDF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠EDF，

∵EF⊥BC，

∴∠ABC=∠DFE=90°，

∴△ADB≌△DEF（AAS）；

∴BD=EF，AB=DF，

∴AB=DF=BC，

∴BD+DC=DC+CF，

∴BD=CF=EF，

∴△CEF是等腰直角三角形；

∴∠CEF=45°，

∴∠DCE=∠CEF+∠CFE=45°+90°=135°；

故答案為：△ADB，等腰直角，135°；

（2）繼續(xù)探究：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，

∵∠ADE=∠ADB+∠GDE=90°，∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠GDE=∠DAB，

∵∠ABD=∠DGE=90°，AD=DE，

∴△ABD≌△DGE（AAS），

∴BD=GE，AB=DG=BC，

∴BD+BG=BG+GC，

∴CG=BD=GE，

∴△CEG是等腰直角三角形，

∴∠DCE=45°；

（3）拓展延伸：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，BE的長(zhǎng)度是最小值；

則∠BEC=90°.

由（2）可知，∠DCE=45°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴BE=CE，

∵，

∴；

∴BE的最小值為.