Question

（2012•肇慶）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E．
（1）求證：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證；
（2）根據矩形的對角線互相平分求出BD的長度，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，然后利用勾股定理求出BC的長度，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；

（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
∵∠DBC=30°，
∴CD=

1

2

BD=

1

2

×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
在Rt△BCD中，BC=

BD2-CD2

=

82-42

=4

3

，
∴四邊形ABED的面積=

1

2

（4+8）×4

3

=24

3

．

點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質，平行四邊形的判定與性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記性質是解題的關鍵．