Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，F為⊙O上一點，AC平分∠BAF且交⊙O于點C，過點C作CD⊥AF于點D，延長AB、DC交于點E，連接BC，CF．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的長；
（3）求證：AF+2DF=AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：

連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AF，

∴∠D=90°，

∴∠ACB=∠D，

∵AC平分∠BAF，

∴∠BAC=∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴∠ABC=∠ACD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠ACD，

∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵AD=6，DE=8，

∴AE= =10，

∵OC∥AD，

∴∠OCE=∠ADE，

∴△OCE∽△ADE，

∴ ，

即 ，

∴r= ，

∴BE=10﹣ =

（3）解：過C作 CG⊥AE于G，

在△ACG與△ACD中，

，

∴△ACG≌△ACD，

∴AG=AD，CG=CD，

∵BC=CF，

在Rt△BCG與Rt△FCD中，

，

∴Rt△BCG≌Rt△FCD，

∴BG=FD，

∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，

即AF+2DF=AB．

【解析】（1）連接OC，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根據角平分線的性質得到∠BAC=∠CAD，通過相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代換得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到結論；（2）根據勾股定理得到AE= =10，根據相似三角形的性質得到 ，代入數據得到r= ，于是得到結論；（3）過C作 CG⊥AE于G，根據全等三角形的性質得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性質得到BG=FD，等量代換即可得到結論．