Question

【題目】在等邊△ABC中．

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；

（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．

①依題意將圖2補全；

②求證：PA=PM．

Answer 1

【答案】（1）80°（2）①見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠B=60°，由三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和得出∠APC的度數，再由等邊對等角即可得出結論；

（2）①根據題意補全圖形；

②證明△APM為等邊三角形即可得出結論．

（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠APC=∠BAP+∠B=80°．

∵AP=AQ，∴∠AQB=∠APC=80°．

（2）① 補全圖形如圖所示．

②過點A作AH⊥BC于點H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，AP=AQ，∴∠PAH=∠QAH，∠BAH=∠CAH，∴∠PAB=∠QAC．

∵點Q，M關于直線AC對稱，∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM，∴∠PAB=∠MAC，AP=AM．

∵∠BAC=60°，∴∠PAM=∠BAC=60°．

∵AP=AM，∴△APM為等邊三角形，∴PA=PM．