Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D
（1）如圖1，求證：BD=ED；
（2）如圖2，AD為⊙O的直徑．若BC=6，sin∠BAC= ，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE．

∵是△ABC的內心，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．

∵∠DBC=∠CAD．

∴∠DBC=∠BAD．

∵∠BED=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB．

∴BD=ED．

（2）解：如圖2所示；連接OB．

∵AD是直徑，A平分∠BAC，

∴AD⊥BC，且BD=FC=3．

∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC= ，BF=3，

∴OB=5．

∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，

∴OF= =4．

∴DF=1．

在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．

∴BD= ．

∴DE= ．

使用OE=5﹣ ．

【解析】（1）連接BE．依據三角形的內心的性質以及圓周角定理證明∠DBE=∠DEB即可；（2）連接OB．先證明圓周角定理和三角形的內心的性質可知∠BAC=∠BOF，依據銳角三角函數的定義可求得OB的長，然后依據勾股定理可求得OF的長于是得到DF的長，接下來，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長，依據問題（1）的結論可得到DE的長，從而求得OE的長．