Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為AB的中點，DE⊥AB．

（1）求∠ABC的度數；

（2）如果AC=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）

【解析】試題分析：（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，再根據菱形的四條邊都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，從而得到△ABD是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出△DAB=60°，然后根據兩直線平行，同旁內角互補求解即可；

（2）根據菱形的對角線互相平分求出AO，再根據等邊三角形的性質可得DE=AO．

解：（1）∵E為AB的中點，DE⊥AB，

∴AD=DB，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴AD=DB=AB，

∴△ABD為等邊三角形．

∴∠DAB=60°．

∵菱形ABCD的邊AD∥BC，

∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°，

即∠ABC=120°；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC于O，AO=AC=×4=2，

由（1）可知DE和AO都是等邊△ABD的高，

∴DE=AO=2．