Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交直線AB于點P，當△PQB為等腰三角形時，線段AP的長為　 　．

Answer 1

【答案】或6．

【解析】試題解析：(2)在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，

(I)當點P在線段AB上時，如題圖1所示：

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，

由(1)可知,△AQP∽△ABC，

∴ 即 解得：

∴

(II)當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示：

∵∠QBP為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ.

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AP中點，

∴AP=2AB=2×3=6.

綜上所述,當△PQB為等腰三角形時,AP的長為或6.

故答案為： 或6.