Question

【題目】如圖1、圖2，在圓O中，OA=1，AB=，將弦AB與弧AB所圍成的弓形（包括邊界的陰影部分）繞點B順時針旋轉α度（0≤α≤360），點A的對應點是A′．

（1）點O到線段AB的距離是　 　；∠AOB=　 　°；點O落在陰影部分（包括邊界）時，α的取值范圍是　 　；

（2）如圖3，線段B與優弧ACB的交點是D，當∠A′BA=90°時，說明點D在AO的延長線上；

（3）當直線A′B與圓O相切時，求α的值并求此時點A′運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）；120；30°≤α≤60°（2）D在AO的延長線上（3）（3）①α=120°或300°②當α=120°時，A′運動路徑的長度=；當α=300時，A′運動路徑的長度=．

【解析】

⑴根據垂徑定理可得AM＝BM＝,在直角三角形中可知O到線段AB的距離，再根據正弦定理，結合圓的性質即可求出答案；(2)利用直徑所對的圓周角為直角的性質，得出AD為直徑，進而得出點D在AO的延長線上；(3)點A'的運動路徑為以B為圓心，AB為半徑的圓弧，當直線A'B與圓0相切時，分兩種情況，分別計算兩種情況下的點A'的運動路徑的長度.

（1）如圖1，過點O作OD⊥AB于點D，

由垂徑定理知，AD=AB=，

又OA=1，

∴sin∠AOD==，

∴∠AOD=60°．

∴OD=OAcos60°=

又OA=OB，

∴∠AOB=2∠AOD=120°．

如圖2，當A′B與OB重疊時，a=∠OBA=30°；

當OB繞點B順時針旋轉至與圓相交，交點為B′，連接OB′，則OB=OB′=BB′，此時△OBB′是等邊三角形，

∴∠OBB′=60°，

∴α的取值范圍是：30°≤α≤60°．

故答案是：；120；30°≤α≤60°；

（2）連接AD，∵∠A′BA=90°，

∴AD為直徑，

所以D在AO的延長線上；

（3）①當A′B與⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

此時∠ABA′=90°+30°=120°

或∠ABA′=90°﹣30°=60°

∴α=120°或300°

②當α=120°時，

A′運動路徑的長度==

當α=300時，

A′運動路徑的長度==．