Question

【題目】如圖，點P是等邊△ABC內一點，連接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC為邊作△AP′C≌△APB，連接PP′，則有以下結論：①△APP′是等邊三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正確的是 ． （把所有正確答案的序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：△ABC是等邊三角形，則∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，則AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°， ∴△APP'是正三角形，①正確；
又PA：PB：PC=3：4：5，
∴設PA=3x，則：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根據勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°，②正確；
又△APP'是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°③正確；錯誤的結論只能是∠APC=105°．
所以答案是①②③．
【考點精析】掌握全等三角形的性質和勾股定理的逆定理是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．