Question

數形結合思想是中學數學解題中常用的數學思想，利用這種思想，可以將代數問題轉化為幾何問題，也可以將幾何問題轉化為代數問題．通過數形結合將代數與幾何完美的結合在一起，可以大大降低解題的難度，提高效率和正確率，甚至還可以達到令人意想不到的效果．教科書中利用幾何圖形證明乘法公式（a+b）²=a²+2ab+b²的做法，就是一個非常典型的例子：
如圖，a、b分別表示一條線段的長度，則a+b可以表示兩條線段之和，那么（a+b）²就可以表示正方形的面積．同樣，a²、ab、b²也可以表示相應部分的面積，那么利用這種方法，就可以證明公式的正確性．
（1）請請你根據上述材料推導乘法公式（a+b+c）²的展開結果．
（2）若．a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂、d₁、d₂均為正數，且a₁+a₂=b₁+b₂=c₁+c₂=d₁+d₂=k，求證：a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，并寫出等號成立的條件．

Answer 1

解：（1）如圖

由圖可得：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．

（2）由題意，可以構造邊長為k的正方形，

由圖可得：a₂b₁，b₂c₁，c₂d₁，d₂a₁表示4個矩形的面積，它們之和小于正方形的面積，
∴a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，當a₁=a₂=b₁=b₂=c₁=c₂=d₁=d₂時等號成立．
分析：（1）根據題意先畫出圖形，然后再根據圖形得出（a+b+c）²的展開結果．
（2）先畫出圖形，由圖形得出a₂b₁，b₂c₁，c₂d₁，d₂a₁表示4個矩形的面積，它們之和小于正方形的面積，從而得出a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，即可證出a₁=a₂=b₁=b₂=c₁=c₂=d₁=d₂成立．
點評：本題考查對完全平方公式幾何意義的理解，應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．