Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始,沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始,沿邊AB向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線PD⊥AC,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始,沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),連結(jié)PQ.點(diǎn)P,D,Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t≥0).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BQPD的面積為△ABC面積的?

(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形?若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由,并探究如何改變點(diǎn)Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在；當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)秒，四邊形PDBQ是菱形.

【解析】

(1)首先表示出四邊形面積以及求出三角形面積，列方程求解即可；

(2)由BQ//DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，由此可得關(guān)于t的方程，解方程即可得；

(3)利用(2)中所求，即可求得此時(shí)DP與BD的長(zhǎng)，由DP≠BD，可判定平行四邊形PDBQ不能為菱形，然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程求解即可.

(1)∵直線PD⊥AC，

∴∠APD=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠C=∠APD，

∴PD//BC，

在Rt△APD中，AD=，AP=t，

∴PD=，PC=AC-AP=6-t，

∵CQ=2t，BC=8，

∴BQ=8-2t，

∴四邊形BQPD的面積為：(BQ+DP)×PC=(8-2t+t)(6-t)，

△ABC的面積為：ACBC=×6×8=24，

∴四邊形BQPD的面積為△ABC面積的時(shí)，×24=(8-2t+t)(6-t)，

解得：，

∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

∴t≤4，

∴不合題意，舍去，

∴當(dāng)t為時(shí)，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的；

(2)存在，

∵PD//BC，

∴BQ//DP，

∴當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是行四邊形，

即8-2t=，解得：t=，

∴存在，t=時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形；

(3)不存在，理由如下：

當(dāng)時(shí)，，

∴DP≠BD，

∴平行四邊形PDBQ不能為菱形；

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，

則BQ=8-vt，PD=，BD=10-，

要使四邊形PDBQ成為菱形，則PD=BD=BQ，

當(dāng)PD=BD時(shí)，即，解得：t=，

當(dāng)PD=BQ，t=時(shí)，即，解得：v=，

所以當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)秒，四邊形PDBQ是菱形.