Question

一園林設計師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環面組成，每個扇環面如圖2所示，它是以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過O點的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環面積最大．

（1）求使圖1花圃面積為最大時R－r的值及此時花圃面積，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑;

（2）若L=160m，r=10m，求使圖2面積為最大時的θ值．

 

Answer 1

【答案】

（1）花圃面積最大時的值為，最大面積為（2）度

【解析】解：（1）若使形如圖1花圃面積為最大，則必定要求圖2扇環面積最大．

設圖2扇環的圓心角為θ，面積為S，根據題意得：

，                             ………………………2分

=．

∴．                          ……………………………3分

∴=               ……………………………4分

=

==

．   ……………………………5分

∵式中∴S在時為最大，最大值為．      ………6分

∴花圃面積最大時的值為，最大面積為．         ……………7分

(2)∵當時，S取值最大，

∴(m)，(m)． …………………………8分

∴==(度)．     ………………………10分

（1）由于花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環面組成，則圖1 一個扇環的周長等于兩個扇形的弧長與兩個的和，根據弧長公式得到，再根據扇形面積公式，化簡得

，根據二次函數的最值即可解決問題

（2）根據（1）中，可以求出值