Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當BC=4，AC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OM，可得∠OMB=∠OBM=∠MBE，根據∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°即可證明；
（2）由△AOM∽△ABE，根據相似三角形對應邊成比例即可求解．

解答：（1）證明：連接OM，
則∠OMB=∠OBM=∠MBE
又∵AB=AC，AE是角平分線，
∴AE⊥BC，
∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，
∴AE與⊙O相切．

（2）解：由AE與⊙O相切，AE⊥BC
∴OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴

OM

BE

=

AO

AB

∵BC=4
∴BE=2，AB=6，
即

r

2

=

6-r

6

，r=

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，屬于基礎題，關鍵是作出輔助線進行證明．