Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線交軸于A（2，0），B（6，0）兩點，交軸于點C（0，）.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線交于點D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點E、F兩點，求劣弧EF所對圓心角的度數；
（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點，PG垂直于軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.

Answer 1

（1）；（2）120°；（3）或.

解析試題分析：（1）將A、B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；
（2）根據（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程聯立直線OD的解析式即可求出D點的坐標；由于⊙D與x軸相切，那么D點縱坐標即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關鍵是求出圓心角∠EDF的度數，連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點的橫坐標，通過解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度數，即可得到∠EDF的度數，進而可根據弧長計算公式求出劣弧EF的長；
（3）易求得直線AC的解析式，設直線AC與PG的交點為N，設出P點的橫坐標，根據拋物線與直線AC的解析式即可得到P、N的縱坐標，進而可求出PN，NG的長；Rt△PGA中，△PNA與△NGA同高不等底，那么它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此本題可分兩種情況討論：①△PNA的面積是△NGA的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA的，則NG=2PN；可根據上述兩種情況所得的不同等量關系求出P點的橫坐標，進而由拋物線的解析式確定出P點的坐標．
試題解析：（1）∵拋物線經過點A（2，0），B（6，0），C（0，），
∴， 解得.
∴拋物線的解析式為：.
（2）易知拋物線的對稱軸是.
把代入y=2x得y=8，∴點D的坐標為（4,8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．
如圖，連結DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．
∴劣弧EF所對圓心角為：120°.
（3）設直線AC的解析式為y=kx+b. ∵直線AC經過點A（2，0），C（0，），
∴，解得.∴直線AC的解析式為：.
設點P，PG交直線AC于N，
則點N坐標為.
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN，
∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即，解得：m₁=－3， m₂=2（舍去）.
當m=－3時，.
∴此時點P的坐標為.   
②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即，解得：m₁=－12， m₂=2（舍去）.
當m=－12時，.
∴此時點P的坐標為.
綜上所述，當點P坐標為或時，△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．

考點1.：二次函數綜合題；2.二次函數解析式的確定；3.函數圖象交點；4.圖形面積的求法；5分類思想的應用．