Question

如圖，直線AB與坐標軸分別交于點A、點B，且OA、OB的長分別為方程x²-6x+8=0的兩個根（OA＜OB），點C在y軸上，且OA︰AC=2︰5，直線CD垂直于直線AB于點P，交x軸于點D。
（1）求出點A、點B的坐標。
（2）請求出直線CD的解析式。
 （3）若點M為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點M，使以點B、P、D、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：∵x²-6x+8=0，
∴x₁=4，x₂=2，
∵OA、OB為方程的兩個根，且OA＜OB，
∴OA=2，OB=4
∴ A（0，2），B（-4，0）；
（2）∵ OA∶AC=2∶5，
∴AC=5
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴ C（0，7），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠ BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴，
∴ OD=，
∴D（，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把x=0，y=7；x=，y=0分別代入得：

∴，
∴y_CD=-2x+7；
（3）存在，P₁（-5.5，3），P₂（9.5，3），P₃（-2.5，-3）。