Question

【題目】如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的每一個頂點都在格點上，AB＝5，點D是AB邊上的動點（點D不與點A，B重合），將線段AD沿直線AC翻折后得到對應線段AD1，將線段BD沿直線BC翻折后得到對應線段BD2，連接D1D2，則四邊形D1ABD2的面積的最小值是　____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

延長AC使CE＝AC，先證明△BCE是等腰直角三角形，再根據(jù)折疊的性質解得S四邊形ADCD1+S四邊形BDCD2＝5，再根據(jù)S四邊形D1ABD2＝S四邊形ADCD1+S四邊形BDCD2+S△D1CD2，可得要四邊形D1ABD2的面積最小，則△D1CD2的面積最小，即：CD最小，此時，CD⊥AB，此時CD最小＝1，根據(jù)三角形面積公式即可求出四邊形D1ABD2的面積的最小值．

如圖，

延長AC使CE＝AC，

∵點A，C是格點，

∴點E必是格點，

∵CE2＝12+22＝5，BE2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，

∴CE2+BE2＝BC2，CE＝BE，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴∠BCE＝45°，

∴∠ACB＝135°，

由折疊知，∠DCD1＝2∠ACD，∠DCD2＝2∠BCD，

∴∠DCD1+∠DCD2＝2（∠ACD+∠BCD）＝2∠ACB＝270°，

∴∠D1CD2＝360°﹣（∠DCD1+DCD2）＝90°，

由折疊知，CD＝CD1＝CD2，

∴△D1CD2是等腰直角三角形，

由折疊知，△ACD≌△ACD1，△BCD≌△BCD2，

∴S△ACD＝S△ACD1，S△BCD＝S△BCD2，

∴S四邊形ADCD1＝2S△ACD，S四邊形BDCD2＝2S△BCD，

∴S四邊形ADCD1+S四邊形BDCD2

＝2S△ACD+2S△BCD

＝2（S△ACD+S△BCD）

＝2S△ABC

＝5，

∴S四邊形D1ABD2＝S四邊形ADCD1+S四邊形BDCD2+S△D1CD2，

∴要四邊形D1ABD2的面積最小，則△D1CD2的面積最小，

即：CD最小，此時，CD⊥AB，

此時CD最小＝1，

∴S△D1CD2最小＝CD1CD2＝CD2＝，

即：四邊形D1ABD2的面積最小為5+＝5.5，

故答案為5.5．