Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ＝x，QR＝y．

（1）求點D到BC的距離DH的長；

（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在

【解析】

試題分析：（1）根據△RQC∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例可求解DH；

（2）根據三角形的相似比求出y關于x的函數關系式；

（3）畫出圖形，根據圖形進行討論：

① 當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC==，∴，即可求出x的值；

② 當PQ=RQ時，-x+6=，x=6；

③當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=CE=AC=2．

試題解析：（1），AB=6，AC=8，．

點D為AB中點，．

，．

，，

∴,

（2），，

，，

即關于的函數關系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①如圖（1），當時，過點P作于M，則．

，，．

，，

，

．

②如圖（2），當時，

，

．

③如圖（3），當時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，

．

，

，

．

綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．