Question

【題目】如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC、AD、OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．
（1）求證：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長之和（參考數據：π=3.1， =1.4， =1.7）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD，

∴∠ADO=∠CDA，

∴DA平分∠CDO

（2）解：如圖：

連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，

∴ = = ，

又∵∠AOB=180°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OB，

∴△DOB是等邊三角形，

∴BD=OB= AB=6，

∵ = ，

∴AC=BD=6，

∵BE切⊙O于B，

∴BE⊥AB，

∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，

∵CD∥AB，

∴BE⊥CE，

∴DE= BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6× =3 ，

∴ 的長= =2π，

∴圖中陰影部分周長之和為 =4π+9+3 =4×3.1+9+3×1.7=26.5．

【解析】（1）只要證明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO即可．（2）首先證明 = = ，再證明∠DOB=60°得△BOD是等邊三角形，由此即可解決問題．本題考查切線的性質、平行線的性質、等邊三角形的判定和性質、弧長公式等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．