Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，交拋物線于點M，過點C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，當點F恰好在拋物線上時（與點M重合）

①求點F的坐標；

②求線段OD的長；

③試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在點D的運動過程中，連接CM，若△COD∽△CFM，請直接寫出線段OD的長．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）①（4，3）；②1；

③存在，點G的坐標為（4，6）或（4，﹣）．理由見解析；（3）或．

【解析】分析：（1）先求得點C的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將點C的坐標代入求得a的值即可；（2）①由題意可知CF∥x軸，則點F縱坐標為3，將y=3代入拋物線的解析式可求得點F的橫坐標；②先證明Rt△OCD≌Rt△HDE，從而得到CO=DH=3，然后由OH=4，可得到OD=1；③將CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CN，則N（3，4）且四邊形CDEN為正方形，然后可求得點N的坐標，接下來求得DG的解析式，然后可求得點G的坐標，由DG⊥DG′以及點D的坐標可求得DG′的解析式，然后可求得點G′的坐標；（3）設點D的坐標為（a，0），則點M的坐標（a+3，﹣ a2﹣a+），然后可求得FM的長，然后由△COD∽△CFM，可得到，最后依據上述比例關系列出關于a的方程求解即可．

本題解析;

（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=3，∴C（0，3）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將點C的坐標代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=．

（2）①∵CF⊥l，OB⊥l，

∴CF∥x軸．

∴點F的縱坐標為3．

將y=3代入拋物線的解析式得：﹣x2+x+3=3，解得x=0或x=4．

∴點F的坐標為（4，3）．

②∵點F的坐標為（4，3），

∴點H的坐標為（4，0）．

∵∠CDE=90°，

∴∠CDO+∠EDH=90°．

∵∠OCD+∠CDO=90°，

∴∠OCD=∠EDH．

由旋轉的性質可知：CD=DE．

在Rt△OCD和Rt△HDE中， ，

∴Rt△OCD≌Rt△HDE．

∴CO=DH=3．

又∵OH=4，

∴OD=1．

③如圖1所示：將CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CN，則N（3，4）且四邊形CDEN為正方形．

∵四邊形CDEN為正方形，

∴∠GDE=45°．

設DN的解析式為y=kx+b，將點D和點N的坐標代入得： ，解得：k=2，b=﹣2．

∴DN的解析式為y=2x﹣2．

把x=4代入得：y=6，

∴G（4，6）．

設直線DG′的解析式為y=﹣x+c，將點D的坐標代入得：﹣ +c=0，解得：c=．

∴直線DG′的解析式為y=﹣x+．

將x=4代入得：y=﹣．

∴點G′的坐標為（4，﹣）．

綜上所述，點G的坐標為（4，6）或（4，﹣）．

（3）如圖2所示：

設點D的坐標為（a，0），則點M的坐標（a+3，﹣ a2﹣a+）．

∴FM=﹣a2﹣a+．

∵△COD∽△CFM，

∴，即，

整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a=或a=﹣3（舍去）．

∴OD=．

如圖3所示：

設點D的坐標為（a，0），則點M的坐標（a+3，﹣ a2﹣a+）．

∴FM=a2+a﹣．

∵△COD∽△CFM，

∴， ，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=．

∴OD=．

綜上所述，OD的長為或.