Question

先閱讀下列內容，然后解答問題
因為

1

1×2

=1-

1

2

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

所以：

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

9

-

1

10

=

9

10

請計算：
①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2006×2007

；
②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

．

Answer 1

分析：（1）分子為1，分母是兩個連續自然數的乘積，第n項為

1

n×(n+1)

= 

1

n

- 

1

n+1

，所以原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+ 

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

- 

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；
（2）分子為1，分母是兩個連續奇數的乘積，第n項為

1

n×(2n-1)

= 

1

2

( 

1

n

- 

1

2n-1

)，所以原式=

1

2

（1-

1

3

+ 

1

3

- 

1

5

+ 

1

5

-…+ 

1

2005

 - 

1

2007

）=

1

2

（1-

1

2007

）=

1003

2007

．

解答：解：①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2006×2007

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+ 

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

- 

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；

②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

=

1

2

（1-

1

3

+ 

1

3

- 

1

5

+ 

1

5

-…+ 

1

2005

 - 

1

2007

）
=

1

2

（1-

1

2007

）
=

1003

2007

．

點評：解決這類題目找出變化規律，消去中間項，只剩首末兩項，使運算變得簡單．