Question

“5•12”汶川大地震后，某健身器材銷售公司通過(guò)當(dāng)?shù)亍凹t十字會(huì)”向?yàn)?zāi)區(qū)獻(xiàn)愛(ài)心，捐出了五月份全部銷售利潤(rùn)．已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號(hào)器材若干臺(tái)，每種型號(hào)器材不少于8臺(tái)，五月份支出包括這批器材進(jìn)貨款64萬(wàn)元和其他各項(xiàng)支出（含人員工資和雜項(xiàng)開支）3.8萬(wàn)元．這三種器材的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，人員工資y₁（萬(wàn)元）和雜項(xiàng)支出y₂（萬(wàn)元）分別與總銷售量x（臺(tái)）成一次函數(shù)關(guān)系（如圖）
（1）求y₁與x的函數(shù)解析式；
（2）求五月份該公司的總銷售量；
（3）設(shè)公司五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，五月份總銷售利潤(rùn)為W（萬(wàn)元），求W與t的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤(rùn)=銷售額-進(jìn)價(jià)-其他各項(xiàng)支出）
（4）請(qǐng)推測(cè)該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值．

型號(hào)	甲	乙	丙
進(jìn)價(jià)（萬(wàn)元•臺(tái)）	0.9	1.2	1.1
售價(jià)（萬(wàn)元•臺(tái)）	1.2	1.6	1.3

Answer 1

分析：（1）如圖可知，y₁與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式．
（2）依題意可解得y₁，y₂與x的等式關(guān)系．
（3）設(shè)五月份售出乙種型號(hào)器材p臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60-t-p）臺(tái)．
（4）根據(jù)（3）可知w隨t的增大而增大，根據(jù)此可解．

解答：解：（1）設(shè)y₁與x的函數(shù)解析式是y₁=kx+b
根據(jù)題意得到

b=0.2 20k+b=1.2

解得：

k=0.05 b=0.2

∴y₁與x的關(guān)系式為y₁=0.05x+0.2

（2）依題意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，解得：x=60
∴五月份該公司的總銷售量為60臺(tái)．

（3）設(shè)五月份售出乙種型號(hào)器材p臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60-t-p）臺(tái)．
則0.9t+1.2p+1.1（60-t-p）=64
解得p=2t-20
∴w=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8
即w與t的函數(shù)關(guān)系式為：w=0.5t+4.2（14≤t≤24）；

（4）依題意有

t≥8 2t-20≥8 60-t-2t+20≥8

解得14≤t≤24
又∵t為正整數(shù)
∴t最大為24
∵w是關(guān)于t的一次函數(shù)，由（3）可知，w隨t的增大而增大．
∴當(dāng)t=24（臺(tái)）時(shí)，w最大=0.5×24+4.2=16.2（萬(wàn)元）
∴該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值為16.2萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題難度中上．是函數(shù)與不等式的綜合題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．