Question

已知拋物線（k為常數，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點分別是M、N．
①M、N兩點之間的距離為MN=______．（用含k的式子表示）
②若M、N兩點到原點的距離分別為OM、ON，且，求k的值．

Answer 1

證明：（1）∵△=k²-4×1×（-k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）①=0，
解得：x₁=-，x₂=，
∴MN=-（-）=2k；

②∵＞0，
∴ON＜OM，
∴ON=，OM=，
∴-=，
解得k=2．
分析：（1）由判別式△＞0即可證明；
（2）①由=0，解得：x₁=-，x₂=，即可得出答案；
②由＞0，可得ON＜OM，所以ON=，OM=，即可得出答案．
點評：本題考查了二次函數綜合題，難度一般，關鍵是掌握用判別式△＞0證明拋物線與x軸總有兩個交點．