Question

閱讀下面的材料并完成填空：
你能比較2005²⁰⁰⁶與2006²⁰⁰⁵的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化．即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小（整數n≥1）．然后，從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納、猜想，得出結論．
（1）通過計算，比較下列①到⑦各組中2個數的大小？
①1²2¹②2³3²③3⁴4³；
⑤4⁵5⁴⑥5⁶6⁵⑦6⁷7⁶…
（2）從第（1）小題的結果歸納，可以猜想nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是______．
（3）根據上面歸納猜想得到的一般結論，可以得到2005²⁰⁰⁶______2006²⁰⁰⁵（填“＞”、“=”或“＜”）．

Answer 1

（1）根據計算可得：①1²＜2¹②2³=8＜3²=9③3⁴＞4³；⑤4⁵＞5⁴⑥5⁶＞6⁵⑦6⁷＞7⁶；

（2）觀察可得：n≤2，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n≥3，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）因為2005≥3，即可以得到2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵．