Question

【題目】綜合題
（1）如圖①所示，P是等邊△ABC內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉60°得△BCQ，連接PQ．若PA2+PB2=PC2，證明∠PQC=90°；

（2）如圖②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉90°得△BCQ，連接PQ．當PA、PB、PC滿足什么條件時，∠PQC=90°？請說明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由旋轉的性質知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等邊三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，則PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋轉的性質知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，則PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故當PA2+2PB2=PC2時，∠PQC=90°
【解析】（1）由旋轉的性質知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ，再根據△ABC是等邊三角形，可得∠ABC=60°，結合已知條件可證△BPQ是等邊三角形，在△PQC中應用勾股定理的逆定理可得△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；（2）方法同（1）。