Question

【題目】已知：在四邊形中，對角線相交于點，且，作，垂足為點，與交于點，.

（1）如圖中的圖1，求證：；

（2）如圖中的圖2，是的中點，若，，在不添加任何輔助線的情況下，請找出圖中的四個三角形，使得每個三角形的面積都等于面積的倍，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），見解析.

【解析】

（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根據∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）設DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，據此知S△ADC=2a2=2S△ADE，證△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分別求出S△ABE、S△BCE、S△BHG，從而得出答案．

解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；

設，則，，

，

是的中線，

，

，

，

則

在和中，

,

，

綜上，面積等于△ADE面積的倍的三角形有：△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．