Question

如圖，在三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC上任意一點．
（1）操作：按下列要求畫出圖形．
①過點D畫線段AB的垂線，垂足為E；
②過點E畫直線EF∥BC，交AD于點F．
（2）探究：∠DEF與∠C是否相等，若相等，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∴ED∥AC，
∴∠1=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠DEF，
∴∠DEF=∠C．
分析：（1）①以點D為圓心，以任意長為半徑畫弧與AB相交于兩點，再以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，連接點D與這一點并購延長與AB相交于一點，這點即為所求的點E；
②以E為頂點，作∠AEF=∠B，與AD相交于點F；
（2）先求出ED∥AC，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠1=∠C，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠1=∠DEF，然后求出∠DEF=∠C．
點評：本題考查了復雜作圖，主要利用了過直線外一點作已知直線的垂線，作一個角等于已知角，都是基本作圖，要熟練掌握，還考查了平行線的判定與性質．