Question

25、如圖已知四邊形ABCD、AEFP，均為正方形．
（1）如圖1若連接BE、DP猜想BE與DP滿足怎樣的數量關系和位置關系；
（2）如圖2若四邊形AEFP繞點A按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中，（1）中猜想出的結論是否總成立？若成立請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3若四邊形AEFP繞點A按逆時針方向繼續旋轉，在旋轉過程中，（1）中猜想出的結論是否總成立？直接寫出結論．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質，證得△DPA≌△BEA，進而得到△DHE∽△DAP，再根據全等三角形的性質求得對應線段相等．
（2）（3）可與（1）證法相同，利用旋轉得到對應角相等，進而證出相關三角形全等或相似，即可得到結論．

解答：解：（1）∵△DPA≌△BEA，
∴BE=DP，
延長DP交BE于H，可證△DHE∽△DAP，即可證得DF⊥BE；
BE=DP，DP⊥BE．（2分）

（2）成立．（3分）
證明：連接BE、DF，延長DP交AB、BE于點M、N．
在△APD和△AEB中，
∵AD=AB，∠DAP=∠BAE，AE=AF，
∴△APD≌△AEB，
∴BE=DP，（6分）
在△ADM和△NBM中，
∵△APD≌△AEB，
∴∠ADP=∠NBM，
∵∠AMD=∠NMB，
∴∠DAM=∠MNB，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAM=∠MNB=90°；
即DP⊥BE．（9分）

（3）成立．
證明：根據旋轉的性質可得，∠EAB=∠PAD，
又∵EA=PA，PD=EB，
∴△DPA≌△BEA，
可得，BE=DP．
又因為△DRQ∽△BAQ，
故∠DRB=∠DAB=90°，
DP⊥BE．（10分）

點評：解答本題要充分里利用正方形的特殊性質，利用其性質再證三角形全等和相似，就可得出結論．