Question

如圖1，已知點D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為EC的中點．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．
（2）將△ADE繞點A逆時針旋轉45°，如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由．
（3）將△ADE繞點A逆時針旋轉135°，如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”成立嗎？（不用說明理由）．
（4）我們是否可以猜想，將△ADE繞點A任意旋轉一定的角度，如圖4中的“△BMD為等腰直角三角形”均成立？（不用說明理由）．

Answer 1

（1）證明：
∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，
∴BM=EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．
同理可證：DM=EC=MC，
∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）（1）中的結論仍然成立．
延長DM與BC交于點N（如圖）
∵DE⊥AB
CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°
∴DE∥BC．
∴∠DEM=∠MCN．
又∵∠EMD=∠NMC，
EM=MC
∴△EDM≌△MNC．
∴DM=MN．
DE=NC=AD．
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN
∴BD=BN．
∴BM⊥DM．
即∠BMD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴BM=DN=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．

（3）（1）中的結論成立．

（4）（1）中的結論成立．
分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據等邊對等角的性質可以證明∠BMD=90°，所以△BMD為等腰直角三角形；
（2）延長DM交BC于N，先根據∠EDB=∠ABC=90°證明ED∥BC，然后根據兩直線平行，內錯角相等求出∠DEM=∠MCN，從而證明△EDM與△MNC全等，根據全等三角形對應邊相等可得DM=MN，然后即可證明BM⊥DM，且BM=DM．
（3）（1）中的結論成立．
（4）（1）中的結論成立．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟練掌握判定定理及性質并靈活運用是解題的關鍵，難度中等．