Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=25，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ACO=

3

4

，點P在線段OC上，且PO、PC的長（PO＜PC）是關于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的兩根．
（1）求AC、BC的值；
（2）求P點坐標；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴tan∠ABC=-

3

4

，
Rt△ABC中，設AC=3a，BC=4a，
則AB=5a，5a=25，
∴a=5，
∴AC=15，BC=20．

（2）∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

OC•AB，
∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12，
∴k=4，
∴方程可化為x²-12x+32=0，解得x₁=4，x₂=8；∵PO＜PC，
∴PO=4，∴P（0，-4）．

（3）存在，直線PQ解析式為：y=-

4

3

x-4或y=-

4

27

x-4，
說明：如果學生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．