Question

【題目】已知，直線 與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且點P（1，a）為坐標系中的一個動點．
（1）求三角形ABC的面積S△ABC；
（2）請說明不論a取任何實數，三角形BOP的面積是一個常數；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 中x=0，得點B坐標為（0，2）；

令y=0，得點A坐標為（3，0）．

由勾股定理可得 ，

所以S△ABC=6.5；

（2）解：不論a取任何實數，三角形BOP都可以以BO=2為底，點P到y軸的距離1為高，

所以S△BOP=1為常數；

（3）解：當點P在第四象限時，

因為 ，S△BOP=1，

所以 ，

即3﹣ a﹣1= ，解得a=﹣3，

當點P在第一象限時，

∵S△ABO=3，S△APO= a，S△BOP=1，

∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO= ，

即1+ a﹣3= ，

用類似的方法可解得 ．

【解析】（1）先求出A、B兩點的坐標，利用勾股定理得到AB的長，等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；（2）三角形BOP的底邊BO=2，BO邊上的高為P點的橫坐標1，所以它的面積是一個常數1；（3）實際上給定△ABP的面積，求P點坐標．利用面積和差求△ABP的面積，注意要分類討論．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和三角形的面積的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題．