Question

【題目】著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB＝50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區P，向A、B兩景區運送游客．小民設計了兩種方案，圖1是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1＝PA+PB，圖2是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA′交直線X于點P），P到A、B的距離之和S2＝PA+PB

（1）S1＝_____km．S2＝_____km．

（2）PA+PB的最小值為_____km．

（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖3所示的直角坐標系，B到直線的距為30km，請你在X旁和P旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，（用尺畫出點P和點Q的位置）這個最小值為_____km．

Answer 1

【答案】（40+10） （50+50 ）．

【解析】

（1）根據勾股定理分別求得S1、S2的值即可；

（2）在公路上任找一點M，連接MA，MB，MA'，由軸對稱知MA＝MA，由三角形的三邊關系得出MB+MA＝MB+MA'＞A'B，得出S2＝BA'為最小；

（3）過A作關于x軸的對稱點A'，過B作關于y軸的對稱點B'，連接A'B'，交x軸于點P，交y軸于點Q，求出A'B'的值即可．在公路上任找一點M，連接MA，MB，MA'，由軸對稱知MA＝MA，由三角形三邊關系得出MB+MA＝MB+MA'＞A'B，S2＝BA'為最小；即可得出答案．

解：（1）如圖1中，過B作BC⊥X于C，AD⊥BC于D，則CP＝AD，

則BC＝40km，

又∵AP＝10，

∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30km．

在△ABD中，AD＝＝40（km），

∴CP＝40km，

在Rt△PBC中，BP＝＝＝40（km），

∴S1＝40+10（km）．

如圖2﹣1中，過B作BC⊥AA′垂足為C，

則A′C＝50km，

又∵BC＝40km，

∴BA'＝＝10（km），

由軸對稱知：PA＝PA'，

∴S2＝BA'＝10km，

故答案為：（40+10），10；

2）在公路上任找一點M，連接MA，MB，MA'，如圖2﹣2所示：

由軸對稱知MA＝MA'，

∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，

∴S2＝BA'＝10km為最小，

即PA+PB的最小值為10km；

故答案為：10；

（3）過A作關于x軸的對稱點A'，過B作關y軸的對稱點B'，連接A'B'，交x軸于點P，交y軸于點Q，如圖3所示：

則P，Q即為所求．

過A'、B'分別作x軸、y軸的平行線交于點G，

B′G＝40+10＝50km，A′G＝30+30+40＝100km，

A'B'＝＝50（km），

∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50km，

∴所求四邊形的周長為（50+50）km；

故答案為：（50+50）．