Question

如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，圓的半徑為1，直線l的解析式為y=x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是

 

；若直線l與半圓有交點，則t的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直線過點B結束（不包括直線過點A）．
直線過點B．
當直線和半圓相切于點C時，根據直線的解析式知直線與x軸所形成的銳角是45°，從而求得DOC=45°，即可求出點C的坐標，進一步求得t的值；當直線過點B時，直接根據待定系數法求得t的值．
若直線L與半圓有交點，則直線從和半圓相切于點C開始到直線過點B結束（包括上述兩種情況）．

解答：
解：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直線過點B結束（不包括直線過點A）．
直線y=x+t與x軸所形成的銳角是45°．
當直線和半圓相切于點C時，則OC垂直于直線，∠COD=45°．
又OC=1，則CD=OD=

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，即點C（-

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，

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）．
把點C的坐標代入直線解析式，得
t=y-x=

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；
當直線過點B時，把點A（-1，0）代入直線解析式，得t=y-x=1．
當直線過點B時，把點B（1，0）代入直線解析式，得t=y-x=-1．
即t=

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或-1≤t≤1時，直線和圓只有一個公共點；
若直線和圓有公共點，則-1≤t≤

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點評：此題綜合考查了直線和圓的位置關系，及用待定系數法求解直線的解析式等方法．