Question

如圖，已知直線y=

2

5

x+2與x軸交于點A，交y軸于C．拋物線y=ax²+4ax+b經過A、C兩點，拋物線交x軸于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△BPC的內心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點Q在拋物線上，且有△AQC和△BQC面積相等，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式令y=0，求出點A的坐標，令x=0求出點C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據三角形的內心在三角形內角平分線上，取點B關于y軸的對稱點B′，連接CB′，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BCO=∠B′CO，從而得到△BPC的內心在y軸上，利用待定系數法求出直線B′C的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；
（3）①分點Q在x軸上方時，根據平行線間的距離相等可得當CQ∥AB時，△AQC和△BQC面積相等，然后根據點Q與點C的縱坐標相等，利用拋物線解析式列式計算即可得解；②點Q在x軸下方時，設CQ與x軸相交于點D，根據△AQC和△BQC面積相等列式求出AD=BD，然后求出點D的坐標，再利用待定系數法求出直線CD的解析式，與拋物線聯立求解即可得到點Q的坐標．

解答：解：（1）令y=0，則

2

5

x+2=0，
解得x=-5，
所以，點A的坐標為（-5，0），
令x=0，則y=2，
所以，點C的坐標為（0，2），
∵拋物線y=ax²+4ax+b經過A、C兩點，
∴

25a+4•(-5)a+b=0 b=2

，
解得

a=- 2 5 b=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

5

x²-

8

5

x+2；

（2）令y=0，則-

2

5

x²-

8

5

x+2=0，
整理得，x²+4x-5=0，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴點B的坐標為（1，0），
取點B關于y軸的對稱點B′（-1，0），連接CB′，
則∠BCO=∠B′CO，
∴△BPC的內心在y軸上，
設直線B′C的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
所以，直線B′C的解析式為y=2x+2，
聯立

y=2x+2 y=- 2 5 x2- 8 5 x+2

，
解得

x1=0 y1=2

（為點C坐標，舍去），

x2=-9 y2=-16

，
∴點P的坐標為（-9，-16）；


（3）①分點Q在x軸上方時，當CQ∥AB時，△AQC和△BQC面積相等，
此時，點Q的縱坐標與點C的縱坐標相同，都是2，
∴-

2

5

x²-

8

5

x+2=2，
整理得，x²+4x=0，
解得x₁=-4，x₂=0，
∴點Q的坐標為（-4，2），
②點Q在x軸下方時，設CQ與x軸相交于點D，
則S_△AQC=

1

2

AD•|y_C-y_Q|，S_△BQC=

1

2

BD•|y_C-y_Q|，
∵△AQC和△BQC面積相等，
∴AD=BD，
∴點D的坐標為（-2，0），
設直線CD的解析式為y=mx+n（m≠0），
則

-2m+n=0 n=2

，
解得

m=1 n=2

，
∴直線CD的解析式為y=x+2，
聯立

y=x+2 y=- 2 5 x2- 8 5 x+2

，
解得

x1=0 y1=2

（為點C坐標，舍去），

x2=- 13 2 y2=- 9 2

，
∴點Q的坐標為（-

13

2

，-

9

2

），
綜上所述，拋物線上存在點Q（-4，2）或（-

13

2

，-

9

2

），使△AQC和△BQC面積相等．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了直線與坐標軸的交點的求解方法，待定系數法求二次函數解析式與一次函數解析式，三角形的內心的性質，三角形的面積，難點在于（3）要分情況討論并判斷出CQ與AB的交點為AB的中點．