Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上，且位于x軸下方．

（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得

，解得 ，

拋物線的解析式為y= x2﹣ ；

②如圖1

，

由∠DPO=∠POB，得

DP∥OB，

D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，P（1，﹣3），

得D（﹣1，﹣3）；

（2）

解：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是定值，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m， m2﹣ ），A（﹣4，0），B（4，0），

設(shè)AP的解析式為y=kx+b，將A、P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得b= ，即E（0， ），

設(shè)BP的解析式為y=k1x+b1，將B、P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得b2= ，即F（0， ），

OF+OE= + = = ，

= =2．

【解析】本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②利用函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用待定系數(shù)法求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．