Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，延長BC到點F使CF＝AE．
（1）求證：≌．
（2）把向左平移，使與重合，得，交于點．請判斷AH與ED的位置關系，并說明理由.
（3）求的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）AH⊥ED．（3）.

試題分析：（1）根據正方形的性質推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根據SAS即可證出答案；
（2）AH⊥ED，根據正方形的性質和平移的性質可證明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知條件AH∥DF，利用平行線的性質可證明∠EGH=90°，即垂直成立．
（3）利用勾股定理求出DE的長，再根據三角形的面積公式表示出△EAD的面積即AE•AD或ED•AG，由已知數據即可求出AG的長．
試題解析：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，
∴∠DCF=90°=∠DAE，
∵CF=AE，
∴△ADE≌△CDF．
（2）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，
∵E為AB中點，H為BC的中點，
∴AE=BH，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠EDA=∠BAH，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAH=90°，
∴∠AGE=180°-90°=90°，
∴AH⊥ED．
（3）在△EAD中，由勾股定理得：DE=，
由三角形的面積公式得：AE×AD=DE×AG，
∴1×2=×AG，
∴AG=.