Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y．
（1）含y的代數式表示AE；
（2）y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（3）設四邊形DECF的面積為S，x在什么范圍時s隨x增大而增大．x在什么范圍時s隨x增大而減小，并畫出s與x圖象；
（4）求出x為何值時，面積s最大．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，結合矩形的性質，即可得出用y的代數式表示的AE；
（2）根據△DBF∽△ABC推出對應邊的相似比，然后進行轉換，即可得出y與x之間的函數關系式，隨即結合圖形可得x的取值范圍；
（3）根據矩形的面積公式，很容易得出面積S關于x的二次函數表達式，根據表達式即可求出二次函數圖象的頂點坐標、與x軸的交點，很容易即可畫出圖象；
（4）根據（3）中求出的二次函數表達式，求出頂點坐標，就可得出面積s最大時x的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF為矩形，
∵DE=x，DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，
∴AE=8-y；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=8，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
∴

y

8

=

4-x

4

，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）∵矩形DECF，
∴S=xy=x（8-2x）=-2x²+8x；
∴頂點坐標（2，8），與x軸的交點為（0，0），（4，0），
∴當0＜x≤2時，S隨x的增大而增大；
  當2≤x＜4時，S隨x的增大而減小，
∴函數圖象為

（4）∵由（3）的結論可知：x=-

b

2a

=2，
∴當x=2時，面積S的值最大．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、二次函數的最值．關鍵在于根據相似三角形及已知條件求出相關線段的表達式，求出二次函數表達式，根據表達式畫出圖象后，即可求出結論．