Question

關于x的二次函數y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），頂點為C，設m是不小于-1的實數．
（1）求頂點C的坐標，并說明C點在什么樣的線上運動；
（2）若OA²+OB²=6，求m值；
（3）求代數式的最大值．

Answer 1

解：（1）y=（x+m-2）²+m-1，
∴頂點C的坐標為（-m+2，m-1），
設C（x，y），則x=-m+2①，y=m-1②，
①+②得，x+y=1，即y=-x+1，
∴C點的橫縱坐標滿足y=-x+1，
∴C點在直線y=-x+1上運動；

（2）∵二次函數y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，
∵OA²+OB²=6，
∴x₁²+x₂²=6，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6，
∴m²-5m+2=0，解得m=，
又∵m是不小于-1的實數且m-1＜0，即-1≤m＜1，
∴m=；

（3）設t=，
當m=0，t=0，
當m≠0，
t=m•
=m•
=m•
=2m²-6m+2
=2（m-）²-，
∵-1≤m＜1，
∴當m=-1時，t的值最大，此時t=10，
所以代數式的最大值為10．
分析：（1）先把y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3配成頂點式得y=（x+m-2）²+m-1，即可得到頂點C的坐標；設C（x，y），則x=-m+2，y=m-1，消去m得到y=-x+1；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，變形x₁²+x₂²=6使之用x₁+x₂，x₁•x₂表示，然后得到關于m的方程m²-5m+2=0，解得m=；而m是不小于-1的實數且m-1＜0，即-1≤m＜1，即可得到m的值；
（3）設t=，當m=0，t=0；當m≠0，對t通分，并且用x₁+x₂，x₁•x₂表示，可得到t=2m²-6m+2，配成頂點式得y=2（m-）²-，而-1≤m＜1，根據二次函數的增減性質得到當m=-1時，t的值最大，此時t=10．
點評：本題考查了二次函數的綜合題：二次函數的頂點式、二次函數的增減性以及二次函數與一元二次方程的根與系數關系的聯系．也考查了代數式的變形能力．