Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD， ．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，

∴AB=2，則AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3，

∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，

BC平面ABCD，

∴BC⊥平面ACFE

（2）解：由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標系，

令FM=λ（0≤λ≤ ），則C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．

=（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1）．

設 =（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，

由 ，取x=1，得 =（1， ， ），

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一個法向量．

∴cosθ= = = ．

∵0≤λ≤ ，∴當λ=0時，cosθ有最小值 ，

當λ= 時，cosθ有最大值 ．

∴cosθ∈[ ]．

【解析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質得BC⊥平面ACFE；（2）建立空間坐標系，令FM=λ（0≤λ≤ ），根據坐標表示出兩個平面的法向量，結合向量的有關運算求出二面角的余弦值關于λ的表達式，再利用函數的有關知識求出余弦的范圍．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．