Question

已知二次函數y₁=x²-2x-3．
（1）結合函數y₁的圖象，確定當x取什么值時，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根據（1）的結論，確定函數y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）關于x的解析式；
（3）若一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與函數y₂的圖象交于三個不同的點，試確定實數k與b應滿足的條件？

Answer 1

分析：（1）由函數圖象可以很容易的得出y₁＞0，y₁=0，y₁＜0時x所取的值；
（2）由圖象可以看出，當x≤-1或x≥3時，|y₁|=y₁；當-1＜x＜3時，|y₁|=-y₁，則可分段確定出y₂關于x的解析式；
（3）若一次函數y=kx+b的圖象與函數y₂的圖象有三個交點，只需一次函數的圖象與函數y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內有兩個交點即可．

解答：解：（1）畫出函數y₁=x²-2x-3的圖象，
利用它的圖象可知：當x＜-1或x＞3時，y₁＞0；
當x=-1或x=3時，y₁=0；
當-1＜x＜3時，y₁＜0；

（2）根據（I）的結論，可得
當x≤-1或x≥3時，|y₁|=y₁，
于是函數y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（y₁-y₁）=0，
當-1＜x＜3時，|y₁|=-y₁，
于是函數y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（-y₁-y₁）=-y₁
∴函數y₂關于x的解析式為y2=

0(x≤-1或x≥3) -x2+2x+3(-1＜x＜3)

；

（3）由題設條件，k≠0時，一次函數y=kx+b的圖象與函數y₂的圖象有三個交點，
只需一次函數的圖象與函數y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內有兩個交點，
即方程組

y=kx+b y=-x2+2x+3(-1＜x＜3)

有兩個不等的實數根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函數y=x²+（k-2）x+（b-3）的圖象與x軸的兩個交點在-1＜x＜3范圍
內．此時，應同時滿足以下三個條件：
①判別式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜

1

4

(k-2)2+3，
②二次函數y=x²+（k-2）x+（b-3）圖象的對稱軸為x=

k-2

2

滿足-1＜-

k-2

2

＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③當x=-1與x=3時，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函數值均應大于0，
即

(-1)2+(k-2)×(-1)+(b-3)＞0 9+3(k-2)+(b-3)＞0

解得

b＞k b＞-3k

∴當k＞0時，有b＞k；
當k＜0時，有b＞-3k．
綜上，由（1）（2）（3）知，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與函數y₂的圖象有三個不
同的交點時，應滿足

-4＜k＜0 -3k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

或

0＜k＜4 k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

．

點評：本題考查了由函數圖象確定函數解析式以及直線與拋物線的交點問題，體現了數形結合的思想．